菱形的对称性
菱形是轴对称图形，也是中心对称图形。菱形的基本性质：1、菱形具有平行四边形的一切性质;2、菱形的四条边都相等;3、菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角;4、菱形是轴对称图形，对称轴有2条，即两条对角线所在直线;5、菱形是中心对称图形。
菱形是轴对称图形吗
菱形是轴对称图形，也是中心对称图形。
在同一平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四边都相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角，对称轴有2条，即两条对角线所在直线，所以菱形也是中心对称图形。
菱形的面积公式
(1)S=底×高(即菱形的面积等于底乘以高);
(2)S=1/2(对角线×对角线)(即菱形的面积也等于对角线乘积的一半);
(3)设菱形的边长为a，一个夹角为θ，则面积公式是：S=a^2·sinθ。
轴对称图形性质
(1)对称轴是一条直线。
(2)在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等。
(3)在轴对称图形中，沿对称轴将它对折，左右两边完全重合。
(4)如果两个图形关于某条直线对称，那么这条直线就是对称轴且对称轴垂直平分对称点所连线段。
如何判定菱形
在同一平面内，菱形的判定：
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形;
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形;
3、四条边均相等的四边形是菱形;
4、对角线互相垂直平分的四边形;
5、两条对角线分别平分每组对角的四边形;
6、有一对角线平分一个内角的平行四边形。
平行四边形的性质：
1、夹在两条平行线间的平行的高相等。(简述为“平行线间的高距离处处相等”)
2、如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。
3、连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。
4、平行四边形的面积等于底和高的积。
5、过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
6、平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。
《菱形的对称性》拓展阅读
宝鸡初三《菱形》题型全解读1：菱形的定义与性质题型详解
【知识梳理】
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（既是性质也是判定）
2.性质：
1.边：对边平行且相等（共有）；四边均相等（独有）；
2.角：对角相等、邻角互补（共有）；
3.对角线：互相平分（共有）；互相垂直（独有）；平分对角（独有）。
①注意：是“平分、垂直”而不是“相等”；
②菱形的一条对角线把平行四边形分成两个面积相等的三角形（共有），
菱形的两条对角线把平行四边形分成两个面积相等的三角形（共有）；
③面积公式：底×高（共有）；两条对角线乘积的一半（独有），如图：
4.对称性
菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴；
菱形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；
5.菱形常见辅助线
【典型例题】
例1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A.两组对边分别平行 B.两组对角分别相等
C.对角线互相平分 D. 对角线互相垂直
【解析】对角线垂直是菱形区别于平行四边形的独有性质，选D
例2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝______．
【解析】数学典型模型：“双垂型”的面积用法；利用菱形“对角线垂直”的性质、勾股定理及三角形面积公式解答。∵菱形的对角线互相垂直平分，∴OB＝3，OC＝4，∠BOC＝90°．由勾股定理可得BC＝5．则OB·OC＝BC·OE，即3×4＝5OE．∴OE＝12/5．
例3如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于____
【解析】利用菱形“四边相等”、“对角线平分”的性质及中位线定理解题.∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=3.5．
例4.求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．求证：AC⊥BD．
以下是排乱的证明过程：
①又BO=DO；
②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；
③∵四边形ABCD是菱形；
④∴AB=AD．
证明步骤正确的顺序是（ ）
A．③→②→①→④ B．③→④→①→②
C．①→②→④→③ D．①→④→③→②
【解析】利用菱形“四边相等”的性质及等腰三角形“三线合一”性质解题.∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∵对角线AC，BD交于点O，∴BO=DO，∴AO⊥BD，即AC⊥BD，∴证明步骤正确的顺序是③→④→①→②，选B.
例5.如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E，若PE=3，则点P到AD的距离为
【解析】利用菱形“对角线平分对角”及角平分线的性质解答
作PF⊥AD于点F，∵四边形ABCD是菱形，∴AC是∠DAB的角平分线，∴PF=PE=3，即点P到AD的距离为3.
例6.如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF，若EF=√3，BD=4，则菱形ABCD的周长为___．
【解析】利用菱形“对角线垂直平分”、“四边相等”的性质及中位线定理解题。由题易得：EF是△ABC的中位线，则AC=2EF=2√3，由OA=√3，BO=2，由勾股定理可得AB=√7，所以菱形的周长为4√7。
例7.如图，菱形ABCD的面积为120，正方形AECF的面积为50，则菱形的边长为_______.
【解析】利用菱形“对称性”、“对角线垂直平分”的性质解题。连结AC、BD交于点O，由对称性知，菱形的对角线BD过点E、F，由菱形性质知，BD⊥AC，∴BD×AC÷2=120①，又正方形的面积为50，∴AE＝5√2， AO*2＋EO*2＝50，∴AO＝EO＝5所以，AC＝10，代入①式，得BD＝24，∴BO＝12，由勾股定理可得AB＝13
例8.如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为_______
【解析】“将军饮马问题”，利用菱形的对称性质可解题．
解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．
例9.已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．
【解答】
（1）连接AC，利用菱形性质及等腰三角形“三线合一”解题；
解：结论AE=EF=AF．理由：如图1中，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴∠BAC=∠DAC=60°∵BE=EC，∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，∵∠EAF=60°，∴∠CAF=∠DAF=30°，∴AF⊥CD，∴AE=AF（菱形的高相等），∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF．
（2）连接AC，利用菱形性质，通过三角形全等可证明；
证：如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，∵∠BAE=∠CAF，BA=AC，∠B=∠ACF，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．
（3）由题易得：∠AEB=45°，利用“45°角常见添辅助线方法”构造直角三角形，利用角度的等量代换，易得△AEF是等边三角形，△CHF是含30角的直角三角形，利用特殊角与边的关系，即可得出F到BC的距离.
解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，∴BG=2，AG=2√3，在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=2√3，∴EB=EG﹣BG=2√3﹣2，∵△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=2√3﹣2，∠AEB=∠AFC=45°，∵∠EAF=60°，AE=AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=∠AFE=60°∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°，在RT△EFH中，∠CEF=15°，∴∠EFH=75°，∵∠AFE=60°，∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°，在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2√3﹣2，由勾股定理可得FH=（2√3﹣2）（√3/2）=3﹣√3．∴点F到BC的距离为3﹣√3．
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